Pisząc książkę o strojeniu fortepianów, niezbyt dokładnie opisałem swoje spostrzeżenia dotyczące tego, jak to fortepian stał się głównym promotorem stroju równomiernie temperowanego.
Zacznijmy jednak od początku, czyli od Pitagorasa – genialnego greckiego matematyka. Z czysto teoretycznego punktu widzenia układ 12 kwint pokrywa z lekkim naddatkiem 7 oktaw. Ta mikro-nadwyżka to komat pitagorejski, który przez stulecia spędzał sen z powiek muzykom i teoretykom. Z tego kwintowo-oktawowego związku wynika podział oktawy na 12 półtonów, które tradycyjnie opisujemy za pomocą koła kwintowego.
Teoretycy zawsze dążyli do domknięcia tego koła, dzieląc komat pitagorejski na różne sposoby. W efekcie tych kalkulacji w dawnych strojach zawsze zostawała jakaś „reszta”, objawiająca się uciążliwą, fałszującą „wilczą” kwintą. Istnieje wprawdzie przypadek, w którym kwinty prawie idealnie wpasowują się w oktawy, ale wymaga to ułożenia aż 53 kwint w 31 oktawach. Taki instrument musiałby jednak mieć aż 53 klawisze w jednej oktawie! Strojąc klasyczne instrumenty klawiszowe, od zawsze musimy mierzyć się z tym geometrycznym problemem.
Rewolucja stalowej struny
Kiedy w XIX wieku fortepian wyrósł na absolutnego lidera wśród instrumentów, okazało się, że pogardzany dotychczas strój równomiernie temperowany stał się tak powszechny, iż muzycy niemal zupełnie zapomnieli o komatach i „wilczych” kwintach. Dlaczego tak się stało?
Okazuje się, że klucz do tej zagadki leży w budowie struny fortepianowej. Zrobiona ze stali, odpowiednio gruba, by wytrzymać naciąg sięgający nawet 100 kg, jest elastyczna, ale jednocześnie mało rozciągliwa. Mówiąc precyzyjnie: przyczyną jest fizyczna sztywność struny i jej naturalny opór przed wyginaniem się zgodnie z uproszczonymi, podręcznikowymi schematami drgań harmonicznych. Im struna jest grubsza i mocniej naciągnięta, tym ta sztywność bardziej daje o sobie znać.
Podczas pomiarów częstotliwości okazuje się, że wyższe składowe (alikwoty) mają częstotliwości minimalnie wyższe, niż wynikałoby to z prostego pomnożenia częstotliwości tonu podstawowego przez kolejne liczby całkowite. To zjawisko nazywamy inharmonią lub nieharmonicznością.
Wielkie nieporozumienie: Ucho kontra maszyna
Stroiciel pracujący na słuch nie rozciąga oktaw intencjonalnie. On po prostu stroi „na czysto”, dążąc do idealnego zestrojenia alikwotów i eliminacji szorstkich dudnień. Ponieważ zjawisko inharmonii naturalnie podbija częstotliwości wyższych alikwotów, to aby uzyskać idealną czystość akustyczną, ucho stroiciela musi podążać za fizycznym kaprysem stali. Słuch mówi nam: „teraz jest czysto”, ale w tym samym momencie fizyczny ton podstawowy wyższej oktawy ląduje nieco wyżej niż nakazywałaby sucha, podręcznikowa matematyka.
Dopiero aparatura pomiarowa, badając częstotliwości tonów podstawowych (czyli pierwszej harmonicznej), pokazuje nam czarno na białym na wykresie Railsbacka, że oktawy w instrumencie są „rozciągnięte”.
Model wewnętrznych punktów sztywności
Mój model w prosty sposób udowadnia, że to „rozciągnięcie” na wykresach pomiarowych wcale nie jest błędem konstrukcyjnym, lecz fizycznym ratunkiem dla stroju równomiernie temperowanego. Wyobraźmy sobie, co dzieje się ze sztywną, stalową struną, gdy zaczyna drgać falami stojącymi.
Gdy struna drga jako całość (1. harmoniczna), wygina się w miarę swobodnie. Schody zaczynają się przy podziałach alikwotowych. Stalowa struna ma swoją sztywność i stawia opór w miejscach, gdzie fizycznie musi się załamać – czyli w węzłach drgań i zawsze na końcach. Te punkty oporu działają trochę tak, jakbyśmy przy każdym podziale minimalnie skracali pracujący segment struny.
- Przy drugiej harmonicznej (oktawie) struna dzieli się na dwa segmenty. Pojawia się wtedy jeden wewnętrzny punkt sztywności w samym środku struny (plus dwa stałe punkty na jej końcach). Ten wewnętrzny opór materiału sprawia, że obie połówki drgają minimalnie szybciej. Oznaczmy ten jednostkowy wpływ punktu oporu jako zmienną x. Częstotliwość tego alikwotu wynosi więc nie czyste f ⋅ 2, ale f ⋅ (2 + x).
- Przy trzeciej harmonicznej (kwincie) struna musi podzielić się na trzy części. Wewnątrz pracującej struny powstają już dwa wewnętrzne punkty sztywności (węzły). Opór materiału rośnie proporcjonalnie, segmenty stają się jeszcze „sztywniejsze” i drgają odpowiednio wyżej. Częstotliwość trzeciego alikwotu przyjmuje więc wartość f ⋅ (3 + 2x).
Gdzie spełnia się sen Pitagorasa?
Siedem oktaw i dwanaście kwint dopasuje się do siebie idealnie w strukturze instrumentu wtedy, gdy spełnione zostanie poniższe równanie:
Z tego równania wyliczamy czysto fizyczną wartość naszej zmiennej sztywności:
x=0,0090183989…
Jeśli podstawimy pod x tę wartość – wynikającą bezpośrednio z realnej sztywności stali w – okazuje się, że nasza fizycznie „zniekształcona” przez sztywne węzły kwinta rozszerza się dokładnie o tyle, by perfekcyjnie zamknąć się w rozciągniętej oktawie!
Koło 12 kwint domyka się w 7 oktawach idealnie, co do jednego herca. Ta drobna, mechaniczna właściwość grubego stalowego drutu – jego naturalna niechęć do idealnego, geometrycznego wyginania się – w genialny sposób pochłonęła i zneutralizowała odwieczny błąd matematyczny, czyli komat pitagorejski. To właśnie dlatego strój równomiernie temperowany stał się na fortepianie tak spójny i bezdyskusyjnie akceptowalny dla ludzkiego ucha. W fortepianie marzenie starożytnych o idealnej harmonii wreszcie się spełniło.
Oto przykładowa tabela porównawcza wygenerowana na podstawie matematycznego modelu oraz empirycznych danych pomiarowych z uśrednionej krzywej Railsbacka:
Jako punkt odniesienia przyjęty został kamerton A4 = 440,00 Hz (klawisz 49). Model ze stałym współczynnikiem bazuje na wyliczonej wartości x = 0,0090183989.
| Klawisz | Opis | Czysta matem. Idealne 12-TET) [Hz] | Wyliczenia w/w (ze stałym x) [Hz] | Odchyłka wyliczeń [centy] | Krzywa Railsbacka [Hz] (Pomiary realne) | Odchyłka Railsbacka [centy] |
| 1 | A0 | 27,50 | 27,01 | –31,2 | 27,03 | –30,0 |
| 16 | C2 | 65,41 | 64,60 | –21,4 | 64,95 | –12,0 |
| 40 | C4 | 261,63 | 260,74 | –5,8 | 261,32 | –2,0 |
| 49 | A4 | 440,00 | 440,00 | 0,0 | 440,00 | 0,0 |
| 64 | C6 | 1046,50 | 1052,40 | +9,7 | 1050,14 | +6,0 |
| 76 | C7 | 2093,00 | 2114,30 | +17,5 | 2112,44 | +16,0 |
| 88 | C8 | 4186,01 | 4247,67 | +25,3 | 4271,50 | +35,0 |
Oczywiście każda struna ma swoją własną charakterystykę inharmoniczną, inaczej wygląda to w basie, inaczej w dyszkancie, ale myślę, że pomimo prostoty mojego pomysłu jest to ciekawy temat.
Mój własny dowód pomiarowy
Teoria teorią, ale jako praktyk postanowiłem to zmierzyć. Badając częstotliwości w wielu różnych fortepianach, porównałem ze sobą skrajne rejestry. Gdy podzieliłem realną, zmierzoną częstotliwość najwyższych tonów przez częstotliwość dźwięków leżących o 7 oktaw niżej, wynik eksperymentu za każdym razem oscylował wokół liczby 132.
Podręcznikowa fizyka uparcie twierdzi, że 7 oktaw to mnożnik dokładnie 128. Skąd więc bierze się ta „nadwyżka” do wartości 132 na prawdziwym instrumencie? To nie jest błąd stroiciela ani wada fabryczna. To namacalny, matematyczny dowód na istnienie „punktów sztywności”. Stalowa struna poprzez swoją nieharmoniczność sprawia, że fizyczny fortepian ucieka od sztywnej teorii i tworzy własną, piękniejszą i doskonalszą przestrzeń akustyczną.
Opracował:
Janusz Starzyk